中介让我劳动合同到期后继续工作到下个月月底

不合法。依据《劳动合同法》，合同到期后应续签或终止，继续工作未签合同侵犯了劳动者权益。不及时处理可能导致劳动者权益受损，如无法保障工资、福利等。
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不合法。处理方式：1.若同意续签，确保新合同条款合理，及时签订；2.若不同意续签或单位降低条件，应提出经济补偿要求，并保留证据，如协商不成可申请劳动仲裁。
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常见处理方式为续签合同或要求经济补偿。若单位愿续签且条件不变或更优，可续签；若单位不续签或降低条件，可要求经济补偿。